Résultats d'extrapolation: semaine du 1 au 6 mars

Publié le par Laurent

Beaucoup de choses à dire cette semaine, d'où mon retard dans la rédaction de cet article! Tout d'abord, évacuons la nouveauté chez les Elliottistes consistant à changer le décompte des sous-vagues dans la Primary 2 pour faire apparaitre un topping process en Ending Diagonal depuis septembre 2009. Personnellement, je suis tout à fait en phase avec ça, et ce pour une raison très simple: les grandes banques ont racheté le marché à vil prix à partir de mars 2009 jusqu'à fin aout 2009 après avoir été renflouées avec de la dette publique. Toutefois, pour concrétiser les bénéfices, il faut vendre le risque aux particuliers, que ce soit avec des 401K, des PEA ou des contrats d'assurance-vie; or, les classes moyennes (acheteurs de risque au prix fort habituels) sont tellement rincées, et la bulle écologique étant au point mort, ces memes banques en sont réduites à faire tourner leurs portefeuilles entre elles via les opérations de day-trading avec parfois l'appui des gouvernements qui mettent un kickoff à chaque amorce de baisse dans de forts volumes. Tout cela se combine dans un fatras de vagues qui se superposent (donc pas des impulses elliottistes) beaucoup: la structure la plus adaptée à cela est le Ending Diagonal, qui se termine souvent par un mouvement de grande ampleur (la Primary 3 pronostiquée à répétition depuis septembre 2009 par Prechter).

Toutefois, ici, on ne fait pas du Elliott, vu que des autres le font bien mieux que nous! On s'intéresse particulièrement à l'approche temps/fréquence des cotations boursières (je l'ai déjà dit mais la répétition fixe la notion, comme disait mon prof d'analyse fonctionnelle à la fac). Or, la tentative de pronostic (avec toutes ses réserves) de la semaine dernière s'est révélée complètement fausse: on va donc essayer de réfléchir sur le pourquoi de cet évennement facheux.

Commençons par rappeler que ce pronostic fut fait de façon inhabituelle, c'est-à-dire avec un échatillon de cotations de 6 mois au lieu des 12 mois habituels. On a utilisé un algorithme en Prolate 13 pour le detrending et une extrapolation en fonctions d'échelle Daubechies 4. Or, que signifie le 13 ? C'est le paramètre de Slepian, qui limite la fréquence de coupure dans la tendance (penser aux fonctions Prolate comme à des polynomes de Legendre dont on aurait étendu la transformée de Fourier d'un point à un intervalle borné de R). Ce paramètre c=2.pi.f avec f la fréquence de coupure implique une fréquence de f=2 environ, et pour des observations faites sur 6 mois une période d'au moins 64 jours, soit un extremum noise-free tous les 32 jours environ (un demi-trimestre). En particulier, c'est compatible avec le "cycle à 40 jours" comme l'illustrent les graphiques ci-dessous, repris chez Slope of Hope et The Big Picture:

40days-cycleDaily-SP-with-50-day-MA-Bollinger-Bands

Il y a des papiers académiques sur les rotations à 30/40 jours dans le Dow Jones: on encourage chaudement les lecteurs à les regarder! Toutefois, on peut aller plus loin et mesurer expérimentalement les erreurs entre les extrapolations en Prolate 13 et les cotations réellement survenues en prenant des dates au hasard dans le S&P 500. C'est super-casse-bonbons à faire, mais quand on doit veiller sur un chat malade à cause d'une obstruction urinaire pendant plusieurs jours, on réussit à le faire et voici les résultats (exclusivité!):

Erreur extraErreur inter

 

A gauche, les erreurs d'extrapolation en fonction du paramètre de Slepian, à droite les erreurs d'interpolation (où comment visualiser la précision avec laquelle on approche les cotations avec la base Prolate c, en fonction du nombre c choisi entre 5 et 19). Le constat est très clair: l'interpolation décroit puis fait un plateau à partir de c=11 ou c=12 environ, alors que l'extrapolation fait une cuvette centrée sur c=13. On voit donc apparaitre une vérification quantitative du "cycle à 30/40 jours" observé par les techniciens traditionnels. Sur le graphique de gauche, les croix sont les résultats ponctuels des expériences, la courbe rouge en est la moyenne artithmétique.

Le problème là-dedans, c'est qu'il existe des cas pathologiques, assez rares, pour lesquels l'extrapolation sur 6 mois avec c=13 tourne au vinaigre: c'est le cas pour la semaine dernière. Cela tend à laisser penser que ce cycle de rotation est assez instable (mais pas tant que ça, juste un petit peu, mais pour un trader, c'est déjà embétant). Le traiter avec un objet rigide en temps comme les Prolate (construites sur des cycles de Fourier complètement délocalisés en temps parce que complètement localisés en fréquence) peut donc etre considéré comme un mauvais choix: le traiter (comprendre l'extrapoler) avec des ondelettes de Daubechies peut etre un meilleur choix.

Donc, si on traite le cycle à 40 jours en ondelettes de Daubechies (il faudrait dire rigoureusement en scaling functions), il faut allonger la durée d'observations, c'est-à-dire au moins la doubler et donc revenir à un an d'observations. Des Prolate 13 avec 256 jours d'observations font qu'on vise maintenant le cycle à 70/80 jours environ, les mouvements plus rapides seront analysés par des "atomes temps/échelle", permettant ainsi de ne pas leur imposer une structure de type "Fourier" très rigide. Voyons sur le S&P 500 ce que ça aurait donné si on l'avait fait la semaine dernière:

SPX-0307-detail5joursSPX-0307-decomp5jours

 

C'est nettement mieux! Et particulièrement lorsqu'on regarde le trend extrapolé sur 5 jours (en haut, à gauche, du graphique de droite); la fluctuation (en bas, à gauche sur le meme graphique) contient dorénavant ce qui était pris en Prolate dans l'échantillon de 6 mois ... Vous pourriez penser: oui, ça marche sur le S&P 500, mais sur les autres indices ? Eh bien, voici le Nikkei 225:

NIK-0307-detail5joursNIK-0307-decomp5jours

 

Ou bien un indice plus mineur, comme le EPRA Eurozone, couvrant les valeurs de l'immobilier européen (aaah, le bon temps de la bulle, soupirent en coeur les retraités bailleurs bourrés de viagra et adeptes des tours du monde via la Thailande aux frais de leurs locataires):

EPRA-0307-detail5joursEPRA-0307-decomp5jours

 

Observez à chaque fois que l'extrapolation Prolate 13 est correcte (en rouge, en haut à gauche du graphique de droite). Pour les puristes, on peut regarder les paramètres de controle (basés sur la blancheur du bruit résiduel négligé dans l'extrapolation globale):

SPX-0307-param5jours

En conclusion: en toute rigueur, il faudrait refaire une mesure expérimentale des erreurs d'extrapolation et d'interpolation avec c=13 sur des échatillons d'un an pris au hasard, exactement comme on l'a fait sur les échatillons de 6 mois. Toutefois, le temps imparti à chaque fois pour générer la base Prolate adaptée croit plus que linéairement avec la taille de l'échantillon et déjà pour un an, tester 15 valeurs de c plusieurs fois (au moins 10, ce qui fait plus de 150 runs) devient prohibitif en termes de patience. J'imagine qu'il faudra bien que je m'y colle un jour, et je suis assez confiant qu'une courbe en cuvette autour de c=13 sortira, mais avec des bords de cuvette beaucoup plus hauts!

Publié dans Bourse

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Pierre-Alexandre Voye 12/03/2010 09:42


Bonjour, vous publiez les sources scilab de tout ceci ? Vous pensez pas à écrire un bouquin sur la question ? ;-)


Laurent 12/03/2010 11:16


Bonjour; les sources SciLab, non. Pour plusieurs raisons: 1/ elles contiennent du matériel qui n'est pas de moi (comme par exemple la traduction en scilab de WaveLab, la toolbox de Dave Donoho,
meme si j'ai du la déboguer en partie) et 2/ elles bougent encore notablement (et elles vont encore bouger peut-etre à cause d'un article que j'ai trouvé cette nuit).

En fait, c'est un projet professionnel de recherche. Il y a eu de "vraies" publications sur des versions précédentes bien moins élaborées (mais vu les délais de soumission et de refereeing, il ne
faut pas espérer etre aux avant-postes avec les revues!); voir par exemple http://dx.doi.org/10.1016/j.nonrwa.2009.11.009

Le blog sert aussi à montrer un peu aux lecteurs comment on procède pour faire de la recherche dans une situation pratique ... Il ne faut surtout pas croire qu'on a les réponses tout de suite, en
fait, on tatonne énormément avant de trouver. Par exemple, j'ai commencé sur ce truc en aout 2007!