Résultats d'extrapolation, Armstrong et Goldman Sachs

Publié le par Laurent

Tout d'abord, toutes nos condoléances à notre camarade mathématicien Fabrice Tourré, le nouveau Jerome Kerviel qui va déguster un maximum pour avoir été pris la main dans le sac à designer et vendre pour argent comptant du toxic CDO aux clients institutionnels de Goldman Sachs. Ca se finit en plainte au civil par la SEC, gageons que ce n'est pas un hasard si c'est un Centralien français qui termine sous les feux de la rampe: Lloyd Blankfein fait d'une pierre 2 coups puisqu'il montre un certain "patriotisme" (comprendre: ces froggys de merde qui ne voulaient meme pas aller en Irak avec Bush, qui nous ont obligé à faire des freedom fries, et qui maintenant vendent du toxique à nos pension funds gérant les économies des bons citoyens US), et il endommage sérieusement l'excellente réputation de l'école française de finance mathématique (El Karaoui, Héman, Fouque, Beresticki and co.) et de gestion du risque ... Du coté de Stanford et de chez Blythe Masters, on a du bien rigoler hier après-midi! Mon opinion personnelle: c'est bien fait pour sa gueule. En France, on a un système d'éducation public (dont Henri IV, Louis-le-Grand et ECP font partie) qui permet aux gens de toutes origines sociales de faire des études grace aux impots de la communauté: si quelqu'un décide de pactiser avec le Diable en personne pour aller vendre des merdes toxiques aux fonds de pension et qu'il sert ensuite de bouc émissaire parce qu'il n'est qu'un immigré dans un pays plus patriotique que le notre, il n'a qu'à se dire que ça ne lui serait pas arrivé s'il avait fait chercheur au CNRS. Point.

 

Plusieurs intervenants ont essayé de décoder toute cette histoire: par exemple, Barry Ritholtz fait une analogie avec le film "The producers" de Mel Brooks, et Dylan Ratigan nous explique ça avec des petites voitures rouges:

 

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Moi, j'aime bien les 2 explications ... Gageons qu'on n'en aura des nouvelles pendant les prochains jours! Maintenant, passons aux résultats d'extrapolation pour cette semaine mouvementée; comme nous avions les indices US hors de leurs intervalles de confiance la semaine dernière, on les passe sous silence en attendant qu'ils reviennent à des comportements plus rationnels. Commençons par l'indice qui finit sa semaine avant les autres, le Nikkei 225:

 

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On est dans les clous, avec une tendance neutre sur les fonctions Prolate (figure de droite, en haut à gauche) et une fluctuation mean-reverting qui s'écrase graduellement depuis 4 semaines environ. Aujourd'hui, je vous montre d'autres éléments de l'algorithme de traitement du signal (with its pants off, comme diraient les Anglo-saxons qui vont faire la peau à The Fabulous Fab'):

 

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A gauche, vous voyez la difficulté principale liée à l'extrapolation de la tendance de fond (les basses fréquences) exprimée en Prolate: l'opérateur qui projette une fonction de L2 (de carré intégrable) sur l'espace des tendances (comprendre: des fonctions à bande limitées qui sont analytiques par le théorème de Paley-Wiener, c'est ça qui permet de les extrapoler aussi loin qu'on veut) est compact et très régularisant. Il est donc très difficile à inverser, parce que l'espace de départ est très grand (il n'y a pas de contraintes sur les dérivées des fonctions de départ) et l'espace d'arrivée est tout petit (les fonctions analytiques ont une infinité de dérivées et sont meme somme de leur série de Taylor): beaucoup d'information est alors perdue. Un opérateur compact admet une décomposition en valeurs singulières (SVD): celles-ci (les valeurs) tendent nécessairement vers zéro (voir la courbe de 1 à 0 sur la figure ci-dessus, à gauche, en haut à gauche), et l'opérateur inverse est formé en inversant ces valeurs: lorsque l'élément à inverser est dans l'image de l'opérateur, les coefficients dans la base Prolate sont tels que, meme divisés par ces minuscules valeurs singulières, ils restent petits. Or, dans le monde réel, on n'a jamais autant de chance: il y a du bruit, qui nous fait sortir de l'image de l'opérateur (et elle est tellement petite que c'est très facile d'en sortir), ce qui se traduit par des coefficients Prolate, qui, divisés par les valeurs singulières tendant vers zéro, se mettent à diverger à l'infini (pour les matheux: dès lors que le bruit s'aligne avec les composantes de la base Prolate; tout va bien tant que le bruit reste orthogonal au range de l'opérateur). C'est ce que vous voyez sur la figure de gauche, l'image de droite: pour extrapoler, on a besoin d'un certain nombre de coefficients situés entre le trait vert et le trait rouge. Si on va jusqu'au trait rouge, en général, on est instable et on a un résultat absurde parce que dominé par le bruit amplifié par une valeur singulière très petite (voir les traits correspondants sur le graphique de ces valeurs sur la meme figure, en haut à gauche). Pour avoir une extrapolation dans laquelle c'est majoritairement du signal qui contribue, il faut trouver un bon niveau de troncature: c'est le niveau matérialisé par le trait vertical bleu. La cross-validation (en bas à gauche) est un critère relativement fiable pour vérifier la troncature a posteriori: on doit etre proche du point de minimum. La figure de droite représente les fréquences moyennes extrapolées en scaling functions de Daubechies dans le plan temps/périodes (en abscisses le temps en jours, en ordonnées le log en base 2 des périodes instantanées): notez que la base Prolate vide complètement les composantes de période supérieure à 2^5=32 jours dans la fluctuation. Ceci ne serait pas possible avec une base polynomiale. Moins les ondelettes sont régulières (smooth), plus on peut espérer représenter des hautes fréquences (ici, on a encore quelque chose à une échelle de 2 jours) mais moins on a le droit d'extrapoler loin dans le futur.

 

De tout cela, on retiendra absolument que, contrairement à l'intuition, c'est l'extrapolation de la tendance de fond (généralement à basses fréquences, donc généralement sous-échantillonnée et c'est un des aspects du problème) qui est la plus problèmatique. Or, c'est sur elle qu'on fait les meilleurs gains boursiers!

 

Passons maintenant au CAC 40, les résultats d'extrapolation effectuée la semaine dernière donnent:

 

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Là encore, c'est plutot satisfaisant. Si on baisse le pantalon de l'algorithme, on trouve les choses suivantes:

 

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Plusieurs choses à observer: à gauche, le critère de cross-validation est parfaitement satisfait, ce qui était un élément supplémentaire pour se sentir confortable avec cette extrapolation baissière en plein contexte d'exubérance haussière. A droite, vous voyez à quel point la fluctuation du CAC 40 est élémentaire par rapport à celle du Nikkei: je crois que cela vient du fait que le CAC est un indice "suiveur" alors que le Nikkei est un indice leader. Mais ça resterait à vérifier!

 

Finissons avec un petit discours anti-marchés efficients par celui qui a très tot écrit contre cette théorie (j'ai le livre auquel il se réfère "l'Alchimie de la finance" ici à la maison):

 

Publié dans Bourse

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