La transition vers l'instabilité pour la tendance

Publié le par Laurent

Comme vous vous etes surement rendus compte vous-memes au fur et à mesure de la lecture des notes publiées ici, la plus grande difficulté dans l'extrapolation des cotations de bourse ne réside pas dans les petits mouvements intra-day, comme malheureusement beaucoup semblent encore le croire, mais bien dans l'analyse puis l'extrapolation des "basses fréquences", donc les mouvements lents et de grande ampleur, qui sont systématiquement sous-échantillonnées (et on ne peut rien y faire puisque c'est un problème directement lié à leurs longues périodes temporelles). C'est cette dernière remarque qui justifie l'usage des fonctions Prolate puisque celles-ci sont obtenues en maximisant la concentration de toutes les fonctions à bande limitées sur un intervalle borné; elles sont donc capables d'extraire le plus d'information possible des cotations relevées ...

 

Commençons par regarder un cas "qui va super-bien"; le DAX 30 du 29 mai 2010. A droite l'extrapolation sur 5 jours, à gauche, les paramètres de controle pour le bruit résiduel:

 

DAX-0529-verif5joursDAX-0529-param-5jours

 

Bon, je pense que c'est un exemple du maximum de précision que l'on peut espérer d'un algorithme d'extrapolation conçu avec ce genre de fonctions de base. Maintenant, allons ouvrir le capot et essayons de "déconstruire" le "pourquoi ça marche" ... A gauche, diverses représentations des coefficients dans la base Prolate et à droite, la décomposition usuelle de l'indice en tendance/fluctuation/bruit résiduel:

 

DAX-0529-even-odd-5joursDAX-0529-decomp-5jours

 

La clef, c'est le graphique de gauche, mais il est compliqué, alors restons calmes! A gauche vous avez 3 courbes (bleue, rouge et noire): la noire, ce sont les valeurs propres de l'opérateur (compact) qui consiste à tronquer une fonction à bande limitée sur un intervalle de mesures borné (vous savez qu'une fonction à bande limitée est analytique et donc son support est toujours infini), la courbe bleue représente les coefficients obtenus en projetant les cotations du DAX sur les prolate paires (lorsqu'on fait la décomposition d'un opérateur compact de ce type, on obtient toujours une base consituée de fonctions alternativement paires ou impaires, c'est un résultat standard), la courbe rouge représente donc les coefficients impairs. Bien sur, le DAX n'est pas complètement une fonction à bande limitée, il y a du bruit; donc nous ne pouvons prendre en compte que les premiers coefficients, parce que les suivants sont pollués par du résidu (les fluctuations à petite échelle, justement, sur lesquelles tout le monde se focalise). Comme le bruit est en général à haute fréquence, on peut espérer que les premiers coefficients en soient vides; il devrait donc y avoir une transition entre la partie stable (le trend) et la partie instable (le bruit) bien visible sur les coefficients. Et c'est justement ce qui arrive: vous voyez que la courbe bleue comme la courbe rouge commencent par décroitre de façon presque parallèle à la courbe noire, puis font un plateau. Le moment où elles cessent de décroitre est précisément la transition entre signal et bruit, entre stabilité et instabilité.

 

Pour inverser l'opérateur de troncature (et donc avoir un opérateur d'extension, ou d'extrapolation en bon français), il faut diviser les coefficients prolate (bleus et rouges) par les valeurs propres (la courbe noire). Or, vous voyez que cette courbe noire tombe à pic (c'est une conséquence de la smoothness du noyau de convolution, là encore, c'est standard): c'est ce que l'on voit dans la petite fenètre en haut à droite. Sur cette image, vous voyez que les courbes bleues et rouges commencent par faire un plateau (les coefficients divisés par les valeurs propres sont bornés), puis explosent à la hausse (ils cessent d'etre bornés); on ne retient que la partie correspondant au plateau de façon à ne pas obtenir de comportement erratique. On obtient les extrapolations paires et impaires se trouvant sur la figure en bas à droite; lorsqu'on les met ensembles, on a l'extrapolation globale visible sur la figure au-dessus de celle représentant la fluctuation mean-reverting.

 

Maintenant, pourquoi est-ce que ça marche bien ? Réponse: parce que la transition stable/instable saute aux yeux! Il est impossible de la manquer puisque les coefficients pairs et impairs décroissent bien puis font "un coin". Il y a des cas où ce beau comportement ne se produit pas, et là, il devient terriblement difficile de trouver la transition, c'est-à-dire le niveau à partir duquel il faut "jeter" les coefficients qui sont pollués par le bruit à haute fréquence. Un exemple pathologique est le suivant (c'est le CAC 40 pendant le mois de juin 2007):

 

Pathos01

 

Pratiquement toute la tendance passe dans la partie impaire (rouge), la partie paire (en bleu) devrait simplement etre une constante égale à la moyenne des cotations sur l'intervalle des mesures. Or, une constante ne se représente pas bien dans la base Prolate; du coup, ce qui devrait etre très simple devient une structure présentant des oscillations artificielles avec des fortes variations aux 2 bords (rappelez-vous que la fonction bleue est paire, donc le bord droit est identique au bord gauche). Que fait la routine d'extrapolation ? Elle suit ces oscillations alors que celles-ci n'ont rien de réel ... Si on calcule la part des cotations passant dans la partie impaire, on constate qu'elle est 4 fois plus importante que la part prise par les prolate paires. Mais au moment d'extrapoler, le bon pronostic impair est ruiné par la partie paire ... qui ne devrait pas exister! Dans le cas du DAX "qui va bien", le rapport impair/pair est seulement de 2 fois, et nous obtenons le bon pronostic puisque la décomposition est équilibrée entre la partie paire et impaire, et la transition stable/instable est très visible. Ci-dessous, un autre exemple de transition très difficile à trouver, sur le Nikkei 225 la semaine dernière:

 

NIK-0703-even-odd-5jours 

 

Il n'y a pratiquement pas de zone de décroissance sur la partie impaire (en rouge) alors que les coefficients pairs (toujours en bleu) montrent bien un "coin" très visible (graphique de gauche): on ne sait donc pas bien où "couper" la partie impaire du signal observé. On peut dire ça autrement: le rapport signal/bruit de la partie impaire est trop faible. Sur ce cas particulier, le seuil en-dessous duquel les coefficients sont bruités se trouve autour de 0.01/0.001 et cela représente la majorité des coefficients impairs. Ce qui sauve l'extrapolation, c'est que la répartition paire/impaire est à peu près équilibrée (autour de 0.9, soit moitié-moitié). On termine avec un autre exemple où "tout se passe bien", à savoir le NDX 100 à la fin du mois de mars 2010:

 

NDX-0327-verif5jours.jpgNDX-0327-even-odd-5jours.jpg

 

Dans ce dernier cas, la décroissance des coefficients pairs et impairs est tellement belle que malgré la tentative de la partie paire d'approcher une fonction constante, l'effet indésirable ne se produit pas lorsqu'on extrapole et on obtient un pronostic tout à fait raisonnable. Ici, le seuil en-dessous duquel on est "dans le bruit" correspond à 0.01 et nous avons beaucoup de coefficients impairs (rouges) et évidemment aussi pairs au-dessus de ce niveau: le signal to noise ratio du NDX pendant cette période est élevé. Le niveau de "coupure" correspond au trait vertical bleu: pour extrapoler, il faut couper au-delà du trait vertical vert et on ne gagne plus rien en termes de précision à couper au-delà du trait vertical rouge.

 

Pour les curieux qui, comme moi, se demandent encore d'où pouvait bien sortir le résultat miraculeux de l'extrapolation à 10 jours du CAC 40 qui est tombée pile poil sur le bon résultat, voilà un élément de réponse:

 

CAC-0703-even-odd-10jours

 

La décroissance des coefficients pairs qui "collent" littéralement aux valeurs propres, responsables de l'extrapolation baissière (voir figure en bas, à droite) explique vraiment beaucoup de choses ... Les cotations du CAC 40 à cette date étaient très proches d'une "vraie" fonction à bande limitée et donc l'extrapolation a parfaitement fonctionné.

Publié dans Bourse

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Absconse 21/01/2012 09:05


Bonjour 


Bonns article, dommage que je n'ai pas le niveau pour tout comprendre, mais maintenant que j'ai trouvé votre site, cela pourra peut être s'améliorer


++

Cart CSS 10/08/2011 16:08



yop yop.... ca s'agite on dirait (à la baisse) .... etonnante cette volatilité de tous les instants.... on a un peu l'impression que c'est MAINTENANT que tout se joue, d'un point de vue politique
et aussi financier, et pas dans 3 semaines.



Cart CSS 04/08/2011 19:44



Salut Laurent! On dirait que ca commence à s'agiter à nouveau très serireux.....


Je pense que nous sommes beaucoup à etre interesse par tes commentaires.


Bien à toi, Cart



Laurent 04/08/2011 23:52


Hello! Ca fait plaisir de revoir les vieilles connaissances! Oui, -5% à Wall Street, ça impressionne les gens, il va y avoir un gap down demain matin sur le CAC très probablement. On va passer à
travers le support des 3300 et ainsi casser à la baisse cet affreux trading range qui sévit depuis l'automne 2009 entre 3350 et 4050. Mon idée là-dessus (mais ça peut etre faux, c'est juste mon
impression): les grosses banques se rendent compte que les banques centrales sont noyées dans le papier obligataire pourri, et donc que meme les obligations d'etat ont du béta, pas seulement du
alpha. Donc, pour maintenir un béta acceptable, elles vendent en masse des actifs à haut béta, des actions donc, pour rester à flot avec les ratios prudentiels. On va avoir un rééquilibrage des
portefeuilles bancaires qui vont maintenant devoir tenir compte du fait que les obligations ne sont pas du alpha pur, ce qui va limiter fortement les capacités d'exposition aux actions. Si les
elliottistes ont raison sur la P3, on doit viser le bas de la 3.1 autour des niveaux de l'été 2009, soit 3000 environ. On serait actuellement dans la 3.1.3 dans un tel scénario. Attendons un peu ce
que Bernanke va sortir à la réunion de la fed la semaine prochaine, parce que s'il ne fait pas un énorme quantitative easing (-> tuer le béta des obligations), la glissade va s'accélérer à toute
berzingue!


Jacques_andre 18/09/2010 21:28



Bonjour Laurent,


Ah! je vois que tu as laissé des commentaires. Voilà qui me rassure, un moment j'ai eu peur que tu disparaisse.


Sur les marché on dirait que la baisse se prépare, par contre j'ai le sentiment que les marchés sont désertés des "petits" et même de quelques gros et que finalement il ne reste plus que des
banques


Bon à bientôt, je pense que l'on sera tous content de te lire à nouveau.



Cart CSS 02/09/2010 09:45



Salut Laurent - Que disent les Oracles ces jours ci? Toujours en instabilité directionnelle? Merci, amitiés.



Laurent 05/09/2010 20:29



Bonjour; je vais reprendre le blog cette semaine. Pour etre bref, on avait dès vendredi dernier un pronostic baissier sur le CAC avec des paramètres de controles affreux qui laissaient entendre
que quelque chose se préparait. Par contre, on avait un retournement à la hausse sur le CAC:USD et le CAC:GLD, ce qui a bien eu lieu.


Pour cette semaine, on a un pronostic haussier sur le CAC avec des paramètres complètement horribles, genre 10% sur le bruit résiduel au lieu des moins de 5% nécessaires et des 2% recommandés.
Donc c'est dehors du marché impératif!


Plus de détails demain si j'ai le temps ...